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\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Examen intra: Réponses}

\author{Steve Ambler\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal\\
{\copyright} 2012, Steve Ambler}

\date{Hiver 2012}

\begin{document}

\maketitle

\raggedright

\section{Réponses courtes (20 points)}

\begin{enumerate}
\item La pente de la courbe DA va être moins abrupte. Dans la mesure où la
  banque centrale veut surtout combattre les fluctuations de l'inflation, son
  taux d'intérêt nominal devient très sensible aux variations de
  l'inflation. Donc, le taux d'intérêt réel devient très sensible aux variations
  de l'inflation, et les dépenses réelles compatibles avec l'équilibre sur le
  marché des biens et services. Si une petite variation du taux d'inflation
  provoque une grande variation du PIB, cela revient à dire que la pente de la
  courbe DA est très plate.
\item Les facteurs de déplacement sont: des variation temporaires des marges
  ajoutées ($m^w$ et $m^p$) par rapport à leurs valeurs tendancielles et une
  variation du progrès techique par rapport à sa valeur tendancielle. Le taux
  d'inflation anticipé est aussi un facteur de déplacement de la courbe d'offre
  agrégée. Une augmentation de $m^w$ fait augmenter les coûts de production des
  firmes, et fait augmenter leurs prix de revient pour un niveau donné de
  production. Il s'agit donc d'un déplacement vers le haut (vers la gauche) de
  la courbe OA. Une augmentation de $m^p$ fait augmenter le prix de revient des
  firmes pour un niveau donné de production, et donc fait déplace la courbe OA
  vers le haut. Une augmentation de $B$ fait augmenter la production pour un
  niveau donné de l'emploi, et fait aussi augmenter la productivité marginale du
  travail à chaque niveau d'emploi. Pour un niveau donné du salaire réel, il
  fait augmenter la demande de travail, ce qui fait augmenter la production, et
  il fait diminuer le coût marginal de production des firmes. Il s'agit d'un
  déplacement vers la droite (vers le bas) de la courbe OA.
\item Une augmentation du salaire réel fait augmenter le prix relatif du loisir
  par rapport au prix de la consommation. L'effet de substitution fait en sorte
  que les travailleurs demandent moins de loisir (et donc leur offre de travail
  augmente), que le changement soit temporaire ou permanent. Si le changement
  est permanent, il y a un grand impact positif sur la richesse des
  travailleurs. L'effet de revenu les incite à consommer davantage de loisir et
  du bien de consommation, et l'offre de travail diminue. Les effets de revenu
  et de substitution vont dans deux sens opposés, et l'effet net sur l'offre de
  travail peut être relativement petit. Si l'augmentation est temporaire, il y a
  très peu d'impact sur la richesse totale des travailleurs, et c'est l'effet de
  substitution qui domine. Donc, l'impact sur l'offre de travail est plus
  important face à une augmentation temporaire du salaire.
\item Une plus grande rigidité réelle a pour conséquence qu'une firme (un
  syndicat) va moins ajuster son prix (son salaire) face à une modification des
  conditions économiques. Le coût de ne pas ajuster dépend typiquement
  directement de la taille de l'ajustement optimal. Si le coût de ne pas ajuster
  est faible, un faible coût d'ajustement peut faire en sorte que l'absence
  d'ajustement soit le comportement optimal de la firme (du syndicat).
\end{enumerate}

\section{Équilibre macroéconomique avec et sans rigidité
salariale (60 points)}

\begin{enumerate}
\item Nous avons
\[
\frac{\partial L}{\partial w} = \gamma B w^{(\gamma-1)}
\]
\[
\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial w} \frac{w}{L}
= \gamma \frac{B w^{\gamma}}{L} = B \frac{L}{L} = \gamma ,
\]
ce qui fut à montrer.
\item Le problème de la firme est
\[
\min_{L} \Pi = A L^{(1-\alpha)} - w L ,
\]
où $\Pi$ est son profit réel. Notez que le profit est exprimé en \textbf{termes
  réels}. $w$ est le salaire réel. Le produit $Y$ est le \textbf{numéraire}
ici. Le seul prix relatif dans le modèle est le salaire réel. Le prix relatif de
$Y$ est forcément unitaire. Si vous avez compris le chapitre du cours sur le
modèle de cycles réels, ceci devait être évident. Plusieurs étudiants on
multiplié le produit de la firme par un niveau de prix $P$, et donc ont écrit la
fonction de profit comme revenu \textbf{nominal} moins coût \textbf{réel}, ce
qui utilise des unités de mesure qui ne sont pas compatibles. La CPO pour le
choix de L est
\[
\frac{\Pi}{L} = 0 = (1-\alpha) A L^{-\alpha} - w
\]
\[
\Rightarrow L^{-\alpha} = \left( \frac{w}{(1-\alpha)A}  \right)
\]
\[
\Rightarrow L = \left( \frac{(1-\alpha)A}{w} \right)^{1/\alpha}
\]
\item Égalisant l'offre et la demande de travail, nous avons
\[
Bw^{\gamma} = \left( \frac{(1-\alpha)A}{w} \right)^{1/\alpha}
\]
\[
\Rightarrow w^{\gamma+1/\alpha} = 
\frac{\left( (1-\alpha)A \right)^{1/\alpha}}{B}
\]
\[
\Rightarrow w = \left( (1-\alpha)A \right)^{1/(1+\gamma\alpha)}
B^{-\alpha/(1+\alpha\gamma)} .
\]
En logs, nous avons
\[
\ln(w) = \frac{1}{(1+\alpha\gamma)} \left(
\ln(1-\alpha) + \ln(A)
\right)
- \frac{\alpha}{(1+\alpha\gamma)} \ln(B) .
\]
\item Nous avons l'équilibre walrasien sur le marché du travail. Puisque offre
  égale demande, nous pouvons utiliser soit la courbe d'offre soit la  courbe de
  demande pour trouver l'emploi. Utilisant la courbe d'offre de travail nous
  donne
\[
L = B w^{\gamma}
\]
\[
= B \left( (1-\alpha)A \right)^{\gamma/(1+\gamma\alpha)}
B^{-\alpha\gamma/(1+\alpha\gamma)}
\]
\[
= B^{1/(1+\alpha\gamma)} \left( (1-\alpha)A \right)^{\gamma/(1+\gamma\alpha)} .
\]
En logs, nous avons
\[
\ln(L) = \frac{1}{(1+\alpha\gamma)} \ln(B)
+ \frac{\gamma}{(1+\alpha\gamma)}
\left( \ln(1-\alpha) + \ln(A) \right) .
\]
\item Ayant trouvé l'emploi d'équilibre, nous pouvons substituer dans la
  fonction de production agrégée afin de trouver le PIB d'équilibre. Nous avons
\[
Y = A L^{(1-\alpha)}
\]
\[
= A B^{(1-\alpha)/(1+\alpha\gamma)} \left( (1-\alpha)A
\right)^{\gamma(1-\alpha)/(1+\gamma\alpha)}
\]
\[
= (1-\alpha)^{\gamma(1-\alpha)/(1+\gamma\alpha)} B^{(1-\alpha)/(1+\alpha\gamma)}
A^{(1+\alpha\gamma+\gamma-\alpha\gamma)/(1+\gamma\alpha)}
\]
\[
= (1-\alpha)^{\gamma(1-\alpha)/(1+\gamma\alpha)} B^{(1-\alpha)/(1+\alpha\gamma)}
A^{(1+\gamma)/(1+\gamma\alpha)}
\]
En logs, nous avons
\[
y = \frac{\gamma(1-\alpha)}{(1+\gamma\alpha)} \ln(1-\alpha)
+ \frac{(1+\gamma)}{(1+\gamma\alpha)} \ln(A)
+ \frac{(1-\alpha)}{(1+\gamma\alpha)} \ln(B) .
\]
\item À partir des solutions développées, nous voyons clairement que, face à des
  variations du progrès technique $A$, le salaire
  réel et l'emploi bougent dans le même sens que le PIB. Donc, ces deux
  variables son pro-cycliques. Nous avons
\[
\Delta \ln (L) = \frac{\gamma}{(1+\alpha\gamma)} \Delta \ln (A)
\]
et
\[
\Delta \ln (Y) = \frac{1+\gamma}{(1+\alpha\gamma)} \Delta \ln (A) .
\]
Face aux variations de $A$, nous avons une variabilité relative (ratio des
écarts types des variables en logs) de l'emploi par rapport au PIB égale à
\[
\frac{\gamma}{(1+\gamma)} .
\]
À moins d'avoir une élasticité de l'offre de travail plutôt élevée, la
variabilité relative de l'emploi est trop faible pour être plausible (compatible
avec les données). De manière semblable, la variabilité relative du salaire réel
est donnée par
\[
\frac{\alpha}{(1+\gamma)} < 1 .
\]
Nous n'avons pas vraiment regarder cette variabilité relative dans les données.
\item À partir des solutions, nous constatons que face à une variation de $B$
  l'emploi est pro-cyclique et le salaire réel est contra-cyclique. La
  variabilité relative de l'emploi (toujours mesurée par le ratio des écarts
  types des variables en logs) est donnée par
\[
\frac{1}{(1-\alpha)} .
\]
L'emploi est plus variable que le PIB face aux fluctuations de l'offre de
travail. Ceci va à l'encontre des données --- nous savons que la variabilité
relative de l'emploi par rapport au produit est inférieure à un. La variabilité
relative du salaire réel est donnée par
\[
\frac{\alpha}{(1-\alpha)} .
\]
Encore une fois, sans calibrer le modèle et sans mesurer la variabilité relative
du salaire réel dans les données, nous ne pouvons nous prononcer sur la
plausibilité de cette prédiction.


\item Nous avons
\[
w = \left( \frac{\overline{W}}{P} \right) = \frac{\overline{W}Y}{Mv} .
\]
Substituant dans la courbe de demande de travail nous obtenons
\[
L = \left( (1-\alpha)A \right)^{1/\alpha}
\left( \frac{\overline{W}Y}{Mv}
\right)^{-1/\alpha} .
\]
Substituant dans la fonction de production agrégée nous obtenons
\[
Y = A \left(
\left( (1-\alpha)A \right)^{1/\alpha}
\left( \frac{\overline{W}Y}{Mv}
\right)^{-1/\alpha}
\right)^{(1-\alpha)} .
\]
À partir de cette équation, nous devons tout simplement isoler $Y$. Nous avons
\[
Y^{(1+(1-\alpha)/\alpha))} = Y^{1/\alpha} =
(1-\alpha)^{(1-\alpha)/\alpha}
A^{(1+(1-\alpha)/\alpha)}
\left( \frac{Mv}{\overline{W}} \right)^{(1-\alpha) / \alpha}
\]
\[
\Rightarrow Y =
(1-\alpha)^{(1-\alpha)} A \left( \frac{Mv}{\overline{W}} \right)^{(1-\alpha)} .
\]
En logs, nous avons
\[
y = (1-\alpha) \ln (1-\alpha) + \ln(A)
+ (1-\alpha) \left( \ln (M) + \ln (v) - \ln \left( \overline{W} \right) \right)
\]
\item Pour trouver l'emploi et le salaire réel d'équilibre il faut revenir en
  arrière. Il est probablement plus facile (mais non obligatoire) de le faire en
  logs. Nous avons
\[
y = \ln (A) + (1-\alpha) \ln (L)
\]
\[
\Rightarrow \ln (L) = \frac{1}{(1-\alpha)} y - \frac{1}{(1-\alpha)} \ln (A)
\]
\[
= \frac{1}{(1-\alpha)} \left(
(1-\alpha) \ln (1-\alpha) + \ln(A)
+ (1-\alpha) \left( \ln (M) + \ln (v) - \ln \left( \overline{W} \right) \right)
\right)
\]
\[
- \frac{1}{(1-\alpha)} \ln (A)
\]
\[
\Rightarrow \ln (L) = \ln (1-\alpha) + \ln (M) + \ln (v) - \ln \left(
\overline{W} \right) .
\]
Pour le salaire réel, nous avons
\[
\ln (w) = y + \ln \left( \overline{W} \right) - \ln (M) - \ln (v)
\]
\[
= (1-\alpha) \ln (1-\alpha) + \ln(A)
+ (1-\alpha) \left( \ln (M) + \ln (v) - \ln \left( \overline{W} \right) \right)
\]
\[
+ \ln \left( \overline{W} \right) - \ln (M) - \ln (v)
\]
\[
= (1-\alpha) \ln (1-\alpha) + \ln(A) - \alpha \ln (M) - \alpha \ln (v)
+ \alpha \ln \left( \overline{W} \right)
\]
\item Face à des variations de $A$, l'emploi ne change pas. L'augmentation fait
  déplacer la courbe de demande de travail vers la droite, mais en équilibre le
  niveau des prix d'équilibre diminue, ce qui fait augmenter le salaire réel, ce
  qui fait diminuer la demande de travail (déplacement le long de la nouvelle
  courbe). L'impact net sur l'emploi est nul. Le salaire réel augmente avec le
  PIB, et donc le salaire réel est pro-cyclique. La variabilité relative de
  l'emploi est zéro, ce qui est trop faible par rapport aux données. La
  variabilité relative du salaire réel (toujours mesurée par le ratio des écarts
  types des variables en logs) est égale à 1.
\item Face à un changement de $B$, l'équilibre n'est pas affecté. L'emploi est
  maintenant déterminé par la demande de travail, qui dépend du salaire
  réel. Ultérieurement, il pourrait y avoir des ajustements du salaire nominale,
  mais à court terme rien ne change, à part possiblement le taux de chômage (que
  l'on pourrait mesurer ici par l'écart entre l'offre de travail et la demande
  de travail).
\item Si $\overline{W}$ diminue, le salaire réel diminue pour un niveau donné de
  $P$. La demande de travail augmente, et donc l'emploi et le PIB augmente. En
  équilibre, il y aura une baisse de $P$ (non montrée), mais non assez pour que
  le salaire réel remonte à son niveau initial.
\end{enumerate}

\begin{itemize}

\item Première remarque générale. Pour trouver la pro-cyclicité ou
  contra-cyclicité des variables macroéconomiques, \textbf{une analyse
    algébrique n'était même pas nécessaire}. Il suffisait d'utiliser un
  raisonnement graphique. Pensez à un graphique simple du marché du travail avec
  le prix relatif (qui est le salaire réel) sur l'axe vertical et la quantité
  (l'emploi) sur l'axe horizontal. On peut tracer une courbe d'offre de travail
  avec une pente positive sur le graphique, dont $B$ agit comme un facteur de
  déplacement de la courbe. On peut aussi tracer une courbe de demande de
  travail à pente négative sur le graphique. Une solution algébrique pour la
  courbe de demande de travail n'est même pas nécessaire pour établir la pente
  négative. Il suffit de penser à la condition d'optimalité de la firme
  concurrentielle: il fait que son coût marginal (le salaire réel) soit égal à
  la valeur de son produit marginal, qui ici est égal tout simplement à la
  productivité marginale du travail. Puisque la fonction de production a la
  propriété de rendements marginaux décroissants au facteur travail, la
  productivité marginale est une fonction décroissante de l'emploi, et donc une
  baisse du salaire réel doit faire baisser la productivité marginale du
  travail, et donc faire augmenter l'emploi. Donc, la courbe de demande de
  travail a une pente négative. Le progrès technique $A$ est un facteur de
  déplacement de la courbe de demande de travail.

  L'équilibre sur le marché du travail est déterminé par l'intersection entre
  les courbes d'offre et de demande de travail. Une augmentation de $A$ fait
  déplacer la courbe de demande de travail vers la droite. Le salaire réel
  d'équilibre augmente, et l'emploi augmente. Maintenant, si on regarde la
  fonction de production, si $A$ augmente par hypothèse et $L$ augmente en
  équilibre, forcément $Y$ doit augmenter. Le salaire réel et l'emploi sont donc
  pro cycliques face à des fluctuations de $A$. Si $B$ augment, la courbe
  d'offre de travail se déplace vers la droite. Le salaire réel d'équilibre
  baisse et l'emploi augmente. Si l'emploi d'équilibre augmente et puisque
  maintenant $A$ est constant, le produit $Y$ doit augmenter. L'emploi est pro
  cyclique mais le salaire réel est maintenant contra cyclique.

  \textbf{Même sans dessiner un graphique, l'intution économique peut nous
    renseigner}. Une augmentation de l'offre (déplacement vers la droite de la
  courbe d'offre) doit faire augmenter la quantité transigée en équilibre sur un
  marché et doit faire baisser le prix d'équilibre. Une augmentation de la
  demande (déplacement vers la droite de la courbe de demande) doit faire
  augmenter la quantité transigée en équilibre sur un marché et faire augmenter
  le prix d'équilibre.

  Morale de l'histoire --- si votre solution algébrique va à l'encontre d'un
  raisonnement graphique simple ou de l'intuition économique, c'est le temps de
  vérifier l'algèbre.

  Afin de pouvoir parler de variabilités relatives, il faut calculer les
  solutions algébriques des variables. Notez que c'est facile d'exprimer les
  impacts relatifs de variations de $A$ ou de $B$ sur les variables du modèle si
  on calcule en logs, puisque (par exemple)
\[
\frac{\Delta Y}{\Delta A}
\]
est exprimée comme la variation proportionnelle du PIB pour une variation
proportionnelle de $A$, et donc a l'interprétation d'une élasticité
(l'élasticité du PIB par rapport au progrès technique en équilibre général). Ce
n'était pas obligatoire d'exprimer les solutions en logs, mais cela pouvait
faciliter l'analyse des variabilités relatives.

\item Deuxième remarque générale. Afin de pouvoir analyser la pro-cyclicité ou
  la contra-cyclicité des agrégats macroéconomiques, il faut trouver leurs
  \textbf{valeurs d'équilibre} en fonction de \textbf{variables exogènes} du
  modèle seulement. Les variables exogènes ici sont $A$ le progrès technique et
  $B$ le facteur de déplacement de l'offre de travail. Une solution qui exprime
  (par exemple) $Y$ en fonction de $L$ ou $w$ n'est pas une solution finale pour
  la valeur de $Y$ en équilibre. Puisque les deux dernières variables dépendent
  à l'équilibre de $A$ et de $B$, il peut être trompeur d'analyser l'impact
  d'une variation de $A$ sur $Y$ sans tenir compte de l'impact de cette
  variation sur $L$ et/ou $w$. Plusieurs étudiants ont exprimé leurs \og
  solutions finales \fg{~} ou \og solutions d'équilibre \fg{~} en fonction de
  variables endogènes. Davantage d'étudiants l'ont fait dans la deuxième partie
  de la question où on introduit la rigidité du salaire.

\item Troisième remarque générale. La première sous-question était censée être
  un cadeau. Plusieurs étudiants ne savent pas encore ce que c'est qu'une
  élasticité. Ceci est censé faire partie de vos connaissances préalables. Il
  faut minimalement maîtriser les concepts de base comme l'élasticité de l'offre
  ou l'élasticité de la demande pour avoir une possibilité de réussir dans ce
  cours.

\end{itemize}

\section{Choix du salaire nominal par un ménage monopoleur
(20 points)}

\begin{enumerate}
\item Le problème du ménage s'écrit
\[
\max_{W_i} U_i = \lambda_i \frac{W_i}{P}L_i \left( W_i \right)
- \frac{B}{1+\phi} \left( L_i\left( W_i \right) \right)^{1+\phi} ,
\]
où j'ai écrit $L_i$ explicitement comme une fonction de $W_i$ .
\item La CPO pour maximiser la fonction d'utilité est
\[
\frac{\partial U_i}{\partial W_i} = 0
= 
\lambda_i \frac{1}{P} L_i + \lambda_i \frac{W_i}{P} \frac{\partial L_i}
{\partial W_i} - B {L_i}^{\phi} \frac{\partial L_i}{\partial W_i} .
\]
J'ai donné tous les points pour une réponse correcte même sans
simplification. Notez que le revenu du ménage $\lambda_i \frac{w_i}{P}L_i(W_i)$
est le produit de termes qui dépendent de $W_i$. Il faut donc utiliser la règle
des produits lorsqu'on calcule la dérivée par rapport à $W_i$.
\item Nous avons
\[
0 = \lambda_i \frac{1}{P} L_i + \lambda_i \frac{W_i}{P} \frac{\partial L_i}
{\partial W_i} - B {L_i}^{\phi} \frac{\partial L_i}{\partial W_i}
\]
\[
\Rightarrow \frac{\lambda_i}{P} L_i \left( 1
+ \frac{\partial L_i}{\partial W_i} \frac{W_i}{L_i}
\right)
=
B {L_i}^{\phi} \frac{\partial L_i}{\partial W_i} \frac{W_i}{L_i}
\frac{L_i}{W_i}
\]
\[
\Rightarrow \frac{\lambda_i}{P} L_i \left( 1
+ \left[ \frac{\partial L_i}{\partial W_i} \frac{W_i}{L_i} \right]
\right)
=
B {L_i}^{\phi} \left[ \frac{\partial L_i}{\partial W_i} \frac{W_i}{L_i} \right]
\frac{L_i}{W_i}
\]
\[
\Rightarrow
\frac{\lambda_i}{P} L_i \left( 1 - \sigma \right)
= - B {L_i}^{\phi} \sigma \frac{L_i}{W_i}
\]
\[
\Rightarrow \frac{\lambda_i}{P} \left( 1 - \sigma \right)
=
- B {L_i}^{\phi} \sigma \frac{1}{W_i}
\]
\[
\Rightarrow
W_i = \frac{\sigma}{\sigma-1} \frac{P}{\lambda_i}
\left( B {L_i}^{\phi} \right) .
\]
Le salaire est une marge ajoutée sur la désutilité marginale de travailler
donnée par $B{L_i}^{\phi}$. Le terme $\frac{P}{\lambda_i}$ joue le rôle
d'exprimer la désutilité marginale du travail dans les mêmes unités de mesure
que le gain marginal (nominal) de travailler une heure de plus ($W_i$). Notez
que le salaire nominal est exprimé en unités de devise (dollars) par heure. Le
niveau des prix $P$ est exprimé en dollars par unité de bien, l'utilité
marginale $\lambda_i$ est exprimée en utils par unité de bien, et la désutilité
marginale de travailler est exprimée en termes d'utils par heure. Donc, les
unités de mesure du côté droit de l'équation sont identiques aux unités de
mesure du côté gauche. (Il n'était pas nécessaire de montrer ceci, mais ça peut
être utile afin de vérifier la cohérence de la solution.) Nous avons
\[
\frac{\mbox{\$}}{\mbox{heure}}
= \frac{\mbox{\$}}{\mbox{bien}}
\frac{1}{(\mbox{utils}/\mbox{bien})}
\frac{\mbox{utils}}{\mbox{heure}} = \frac{\mbox{\$}}{\mbox{heure}}
\]
\end{enumerate}

\begin{itemize}

\item Remarque générale. Je spécifie \textbf{dans l'énoncé} que le ménage
  choisit \textbf{le salaire nominal} afin de maximiser son utilité. J'étais
  stupéfait de voir combien de personnes ont calculé une condition du premier
  ordre en dérivant par rapport à $L_i$, l'offre de travail. (C'est possible
  d'arriver ainsi à une réponse correcte, mais c'est légèrement plus difficile,
  parce qu'il faut raisonner en termes de \textbf{l'inverse} de l'élasticité de
  la demande de travail, c'est à dire $-1/\sigma$.)

\item Deuxième remarque générale. Cette question était censée discriminer entre
  ceux qui comprennent une conséquence \textbf{fondamentale} de la concurrence
  imparfaite, et ceux qui ne comprennent toujours pas cette conséquence. Lorsque
  le ménage choisit son salaire, \textbf{il doit tenir compte de l'impact de ce
    choix sur les heures travaillées}, puisque il fait face à une courbe de
  demande à élasticité constante. (Relire la 2e phrase de l'énoncé.) J'étais
  stupéfait par le nombre d'étudiants qui n'ont pas tenu compte du fait que
  $L_i$ dépend de $W_i$. J'avoue que la 3e sous-question était un peu ardue,
  mais j'ai donné la grande majorité des points à ceux qui ont exprimé
  correctement le problème du ménage et qui ont calculé une CPO qui tenait
  compte de l'impact de $W_i$ sur $L_i$ (ou vice versa si vous avez choisi
  d'utiliser $L_i$ comme la variable de choix).

\item Troisième remarque générale. Plusieurs étudiants ont réécrit la fonction
  d'utilité comme
\[
U_i = \lambda_i \frac{W_i}{P_i} L_i - \frac{B}{1+\phi} \left(
R_i \frac{P}{W_i}
\right)^{1+\phi} .
\]
Ceci n'est pas faux, mais on vient d'introduire ainsi une autre variable ($R_i$)
qui doit dépendre du choix du salaire par le ménage. Si on l'écrit comme ça, il
faut par la suite être capable d'évaluer
\[
\frac{\partial R_i}{\partial W_i}
\]
lorsqu'on écrit la CPO du problème. Presque tout le monde qui a introduit ou
laissé $R_i$ dans la fonction d'utilité n'a pas tenu compte par la suite de
l'impact de $W_i$ sur $R_i$ en écrivant la CPO.

\end{itemize}

\vspace{.25in}
dernière modification: 04/03/2012

\end{document}
