\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{times}
\usepackage{setspace}
\usepackage[dvips]{graphics}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage[pdftex,bookmarks,colorlinks]{hyperref}

\title{ECO 3022: Macroéconomie III \\
Exercice 2: Réponses}

\author{Steve Ambler\\
Département des sciences économiques\\
École des sciences de la gestion\\
Université du Québec  Montréal\\
{\copyright} 2012, Steve Ambler}

\date{Hiver 2012}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Réponses détaillées}

\begin{enumerate}
\item Le programme de la firme peut s'écrire
\[
\max_{L_t,K_t} \Pi_t =  A_t {K_t}^{\alpha} {L_t}^{(1-\alpha)} - w_t L_t - R_t K_t
\]
où $\Pi_t$ est le profit réel de la firme. Il y a deux CPOs:
\[
L_t : (1-\alpha) A_t {K_t}^{\alpha} {L_t}^{-\alpha} - w_t = 0 ;
\]
\[
K_t : \alpha A_t {K_t}^{(\alpha-1)} {L_t}^{(1-\alpha)} - R_t = 0 .
\]
\item Utilisant la CPO par rapport au choix de l'emploi, nous obtenons
\[
L_t = K_t \left( \frac{w_t}{(1-\alpha)A_t} \right)^{-1/\alpha} .
\]
Le stock de capital est prédéterminé au temps $t$ et est choisi par le ménage.
\item À partir de la première CPO, multipliant par $L_t$ nous obtenons
\[
w_t L_t = (1-\alpha) A_t {K_t}^{\alpha} {L_t}^{(1-\alpha)} = (1-\alpha) Y_t .
\]
À partir de la deuxième CPO, multipliant par $K_t$ nous obtenons
\[
R_t K_t = \alpha A_t {K_t}^{\alpha} {L_t}^{(1-\alpha)} = \alpha Y_t .
\]
À partir de ces deux équations, nous obtenons directement
\[
w_t L_t + R_t K_t = Y_t ,
\]
ce qui fut à démontrer.
\item Nous avons les équations suivantes:
\[
\bar{Y} = \bar{A} \bar{K}^{\alpha} \bar{L}^{(1-\alpha)} ;
\]
\[
\bar{K} = (1-\delta) \bar{K} + \bar{I} ;
\]
\[
\bar{I} = s \left( \bar{Y} - \bar{G} \right) .
\]
À partir de l'équation d'offre de travail, nous savons que $\bar{L}=1$. À partir
du tableau des valeurs calibrées, nous savons que $\bar{A}=1$. Nous savons aussi
que $\bar{G}/\bar{Y} = 0.20$. Nous pouvons réécrire les trois équations comme
suit.
\[
\bar{Y} = \bar{K}^{\alpha} ;
\]
\[
\delta \bar{K} = \bar{I} ;
\]
\[
\bar{I}/\bar{Y} = s \left( 1 - \bar{G}/\bar{Y} \right) .
\]
Substituant $\bar{I}$ utilisant la deuxième équation, nous obtenons
\[
\bar{Y} = \left( \bar{I}/\delta \right)^{\alpha} .
\]
Substituant $\bar{I}$ utilisant la troisième équation, nous obtenons
\[
\bar{Y} = \left( \bar{Y} \frac{s \left(1-\bar{G}/\bar{Y}\right)}{\delta}
\right)^{\alpha}
\]
\[
\Rightarrow
\bar{Y}^{(1-\alpha)} = \left( \frac{s \left(1-\bar{G}/\bar{Y}\right)}{\delta}
\right)^{\alpha}
\]
\[
\bar{Y} = \left( \frac{s \left(1-\bar{G}/\bar{Y}\right)}{\delta}
\right)^{\alpha/(1-\alpha)} .
\]
Substituant les valeurs numériques du tableau, nous avons
\[
\bar{Y} = \left( \frac{0.20 (1-0.20)}{0.025} \right)^{(0.33/0.67)} = 2.495 .
\]
Ensuite, nous pouvons facilement trouver les valeurs à l'état stationnaire des
autres variables:
\[
\bar{G} = 0.2 \times \bar{Y} = 0.499 ;
\]
\[
\bar{I} = 0.2 \times \left( \bar{Y} - \bar{G} \right) = 0.399 ;
\]
\[
\bar{K} = \bar{I}/\delta = 15.968 ;
\]
\[
\bar{C} = \bar{Y} - \bar{G} - \bar{I} = 1.597 ;
\]
\[
\bar{R} = \alpha \bar{Y} / \bar{K} = 0.052.
\]
Pour trouver le salaire réel de long terme, nous égalison l'offre et la demande
de travail:
\[
\bar{B} \left( \frac{\bar{w}}{\bar{w}} \right)^{\eta} = \bar{K}
\left(
\frac{\bar{w}}{(\bar{A}(1-\alpha)}
\right)^{-1/\alpha}
\]
\[
\Rightarrow
1 = \bar{K} \left( \frac{\bar{w}}{(\bar{A}(1-\alpha)} \right)^{-1/\alpha}
\]
\[
\Rightarrow
\bar{w} = \bar{K}^{\alpha} (1-\alpha) = 1.672.
\]
\item Ayant trouvé les valeurs de toutes les variables en période $0$ (puisqu'on
  suppose que l'économie commence à son état stationnaire), nous pouvons
  résoudre le modèle de manière récursive. Nous avons
\[
\frac{(A_1 - \bar{A})}{\bar{A}} = \rho_A \frac{(A_{0} - \bar{A})}{\bar{A}}
+ \varepsilon_1 .
\]
L'ordinateur nous a donné une valeur pour $\varepsilon_1$ et donc nous pouvons
calculer $A_1$ sans problème:
\[
A_1 = \bar{A} \left( \rho_A \frac{(A_{0} - \bar{A})}{\bar{A}}
+ \varepsilon_1 \right) + \bar{A} .
\]
Ensuite,
\[
K_1 = (1-\delta) K_0 + I_0 ,
\]
Ayant calculé le stock de capital en période $1$, nous avons
\[
L_1 = K_1 \left( \frac{w_0}{(1-\alpha)A_1} \right)^{-1/\alpha} .
\]
Maintenant, nous pouvons calculer le produit en période $1$.  puisque le salaire
réel est le salaire réel d'équilibre de la période précédente et l'emploi est
déterminé par la demande de travail. Pour calculer le salaire réel d'équilibre
de la période $1$ (qui devient par hypothèse le salaire réel en vigueur pour la
période $2$), il faut égaliser offre et demande de travail:
\[
B_1 \left( \frac{w_1}{\bar{w}} \right)^{\eta} =
K_1 \left( \frac{w_1}{(1-\alpha)A_1} \right)^{-1/\alpha}
\]
\[
\Rightarrow
{w_1}^{(\eta+1/\alpha)} = \bar{w}^{\eta} \left( \frac{K_1}{B_1} \right)
\left( (1-\alpha) A_1 \right)^{1/\alpha}
\]
\[
\Rightarrow
w_1 = \bar{w}^{\frac{\eta \alpha}{1+\eta\alpha}}
\left( \frac{K_1}{B_1} \right)^{\frac{\alpha}{1+\eta\alpha}}
\left( (1-\alpha) A_1 \right)^{\frac{1}{1+\eta\alpha}} .
\]
Nous avons aussi
\[
C_1 = (1-s) \left( Y_1 - G_1 \right) ,
\]
etc. Il est facile par la suite de transformer les variables en déviations
propportionnelles par rapport à leurs valeurs d'état stationnaire.
\end{enumerate}

\vspace{.25in} \noindent
Document créé le : \textbf{10/04/2012}


\end{document}




\end{document}
